设a、b、c为正整数,ax^2+bx+c=0有两不等实根x1、x2,且|x1|<1,|x2|<1,求a+b+c的最小值

11

ax^2+bx+c=0有两实根x1、x2,且|x1|<1,|x2|<1
则-1<x1<1,-1<x2<1
(x1+1)(x2+1)>0
x1+x2+2>0
(x1-1)(x2-1)>0
x1+x2-2<0
△=b^2-4ac>=0
由韦达定理x1+x2=-b/a,x1x2=c/a代入整理得
a+c>b
2a>b
b^2>4ac
由于4a^2>b^2>4ac,所以a>c
b^2>4ac>2bc,所以b>2c,所以c最小
不妨设c=1,则a+1>b,所以a>=b
b^2>4a>=4b,b>4,所以b=5,所以取a=5
验证a=b=5,c=1满足上面不等式，所以a+b+c最小值为11